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Title: Teoria dos grafos: uma reflexão sobre a sua abordagem no ensino não universitário
Authors: Cardoso, Ana Maria Dias Soares
Keywords: TMMAT
Teoria dos grafos
Matemática
Issue Date: 2009
Citation: Cardoso, A.M.D.S.(2009). Teoria dos grafos: uma reflexão sobre a sua abordagem no ensino não universitário. Dissertação de Mestado em Matemática/Educação
Abstract: A teoria dos grafos remonta ao século XVIII, quando Euler introduziu as suas ideias básicas para resolver o famoso problema das pontes de KÄonigsberg. No entanto, nas últimas decadas, a teoria dos grafos estabeleceu-se, por direito proprio, como uma importante ferramenta matematica numa grande variedade de áreas do conhecimento e algumas áreas específicas, tais como, investigaçao operacional, engenharia, genetica, sociologia, geografia, ecologia, analise numerica, computaçao paralela, telecomunicacoes e quimica. Aliás, é corrente dizer-se que um grande leque de problemas em diversas ciencias pode ser modelizado por um grafo e resolvido com a teoria dos grafos. Por exemplo, é possivel calcular as diferentes combinaçoes de voos entre duas cidades, determinar se é ou nao possível percorrer todas as ruas de uma cidade sem percorrer a mesma rua duas vezes e determinar o numero de cores necessarias para colorir um mapa. Até à decada de 90 do seculo transacto, a teoria dos grafos era abordada somente no ensino universitario. Com o surgimento de novas disciplinas no ensino secundario, nomeadamente, da disciplina de Matematica Aplicada às Ciencias Sociais, a teoria dos grafos ganha um lugar nos programas sociais; aos alunos do ensino nao universitario é-lhes proporcionado uma abordagem, ainda que introdutoria, a esta teoria. Neste contexto, algumas questoes pertinentes surgem no espirito das pessoas interessadas em questoes, simultaneamente, pedagogicas e em rigor cientifico. Seria que a teoria dos grafos é exposta e analisada com o rigor matemático adequado? Seria que, numa tentativa de chegar a pulicos mais jovens, nao se comprometeu a qualidade cientifica. O objectivo de fundo do trabalho que se apresenta é, por um lado, mostrar uma perspectiva pessoal e um posicionamento quanto à abordagem que é feita à teoria dos grafos no ensino nao universitario e, por outro lado, levantar a questao da ausencia da teoria dos grafos nos programas de Matematica A no ensino secundario. Por que motivo nao é esta teoria incluida nesses programas? Seria só util e relevante na prosecuçao dos estudos de alunos interessados em Ciencias Sociais? Neste sentido, inicia-se o presente trabalho, após uma abordagem intuitiva, por uma compilaçao de resultados fundamentais, alguns elementares e outros com maior grau de complexidade, da teoria dos grafos. Serao apontados os conceitos julgados essenciais a apresentar aos alunos do ensino secundario sobre teoria dos grafos, de forma a construir um corpo de conhecimentos coerente e consistente. Ao fazer-se tal listagem, apresenta-se um posicionamento pessoal de como deveria ser tal abordagem, servindo de base para uma analise critica da implementaçao da teoria dos grafos no ensino nao universitario. Numa segunda parte da tese, no capitulo tres, sao sumarizadas algumas aplicaçoes da teoria dos grafos, em diversas areas do conhecimento. Nesses problemas apresentados, é mostrado como a teoria dos grafos é usada, numa primeira etapa, na sua modelizaço e, numa etapa posterior, na sua resoluçao, tornando-se perceptível a sua grande aplicabilidade e abrangencia. Os problemas sumarizados passam pela determinaçao de caminhos mais curtos em grafos ponderados, por problemas de minimizaçao, pelo uso diverso do topico das arvores e suas aplicaçoes, e pelo coloramento de grafos e mapas. No capitulo quatro é feita uma reflexao sobre a abordagem da teoria dos grafos no ensino nao universitario, passando pelo ensino basico e pelo ensino secundario. Ao nivel do ensino basico, são identificados alguns conteudos de teoria dos grafos que ja pertencem aos programas oficiais e, tambem, sao lançadas algumas propostas de trabalho adequadas à faixa etaria de cada ciclo, e que, em alguns casos, ja sao levadas a cabo de forma espontanea pelos titulares das turmas, sem existir a consciencia que ha um suporte teorico subjacente ao exercicio. Ao nivel do ensino secundario, sao referidas algumas sugestoes de trabalho consideradas adequadas para os alunos da disciplina de Matematica Aplicada às Ciencias Sociais e questionada a ausencia formal da teoria dos grafos na Matematica A. Graph theory goes back to the XVIII century, when Euler introduced its basic ideas to solve the famous problem of the KÄonigsberg's bridges. However, in the last few decades, graph theory has been established, by its own right, as an important mathematical tool in a wide variety of areas of knowledge, such as operational research, engineering, genetics, sociology, geography, ecology, numerical analysis, parallel computation, telecommunica- tions and chemistry. Besides, it is usual to say that a considerable number of problems in a wide variety of sciences can be modeled by a graph and solved using graph theory. For example, it is possible to calculate the di®erent combinations of °ights between two cities, to determinate if it is possible or not to walk in every street of a city without walking in a street twice and to know the number of colours we need to colour a map. Until the 90s of the last century, graph theory was taught just in university. With the rise of new subjects in high school, namely, Mathematics Applied to Social Sciences, graph theory gained a place in the o±cial curriculum; therefore,the non-university students are exposed to an introduction to this theory. In this context, some relevant questions arise in the spirit of people interested in peda- gogic and scienti¯c problems. Is graph theory introduced and analysed with the adequate mathematical rigour? Can it be that the attempt of dealing with younger students, comes at the expense of scienti¯c quality? The main goal of this work is, on one hand, to show a personal perspective about the ap- proach that is done to graph theory with non-university students, and on the other hand, to put the question of why graph theory doesn't appear in the Mathematics'curriculum (level A). Is graph theory just relevant for students interested in social sciences? The thesis starts, after an intuitive approach, with a compilation of the fundamental re- sults, some elementary and others with more complexity, of graph theory. Concepts that are thought to be essential are selected in order for the high school students to build a coherent and consistent body of knowledge. Making such selections will show, from a personal perspective, how the approach of graph theory should be, forming a basis for a critical analysis of the current implementation of graph theory in high school. In the second part of the thesis, the third chapter, we summarise some applications of graph theory in some areas of science. For each application, we show how graph theory is used, in the ¯rst stage, to model the problem, and in the latter stage, to solve the problem. The problems that are mentioned consist of determining the shortest path in a weighted graph, the problem of minimisation, problems that need the use of trees, and the problem of colouring graphs and maps. In chapter number four, we give a re°ection on how to approach graph theory to non- university students, going through basic school and high school. In the basic school we identify some contents that already belong to the curriculum, and also, propose some activities adequate for the age of the student at each stage (1st, 2nd, 3rd cycle), that, in many cases, are being taught in a spontaneous way, without the conscience that there exists a theory that supports the activities. For the high school, we summarise some proposals of activities for the students of Mathematics Applied to Social Sciences and we question the formal absence of graph theory in the Mathematics'curriculum (level A).
URI: http://hdl.handle.net/11328/568
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